分散・標準偏差

30秒で思い出す

分散と標準偏差は、データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表す値です。

• 偏差: 各データ − 平均値
• 分散: 偏差を2乗して平均した値
• 標準偏差: 分散の平方根

標準偏差が小さいほど平均の近くに集まり、大きいほど広く散らばっていると考えられます。

超やさしく理解

平均値が同じでも、データの散らばり方は違うことがあります。

たとえば2つのシステムの処理時間がどちらも平均100 msだったとしても、

A: 99, 100, 100, 101
B: 50, 80, 120, 150

では、Aの方が100 ms付近に集まっています。

平均値だけではこの違いを表しにくいため、分散や標準偏差を使います。

偏差

偏差は、各データが平均値からどれだけ離れているかを表します。

データが、

2, 2, 4, 4

なら平均値は3です。

各データの偏差は、

2 - 3 = -1
2 - 3 = -1
4 - 3 =  1
4 - 3 =  1

です。

偏差を見ると、平均より小さい値はマイナス、大きい値はプラスになります。

偏差をそのまま平均できない理由

偏差をそのまま足すと、

-1 + -1 + 1 + 1 = 0

となります。

平均から下に離れた分と上に離れた分が打ち消し合うためです。

そこで、偏差を2乗してすべて正の値にしてから平均します。

分散

このKnowledgeではまず、与えられたデータ全体のばらつきを求める基本として、

偏差の2乗の平均

を分散として扱います。

先ほどのデータでは、

偏差:      -1, -1, 1, 1
偏差の2乗:  1,  1, 1, 1

なので、

分散 = (1 + 1 + 1 + 1) / 4
     = 1

です。

分散が大きいほど、平均から大きく離れた値が多いことを表します。

なぜ2乗する？

偏差を2乗すると、

• マイナスとプラスが打ち消し合わない
• 大きく離れた値をより強く反映する

という特徴があります。

ただし、元のデータがmsなら分散の単位はms²のようになり、元の値と直接比べにくくなります。

そこで標準偏差を使います。

標準偏差

標準偏差は、分散の平方根です。

分散が1なら、

標準偏差 = √1 = 1

です。

平方根を取ることで、元のデータと同じ単位に戻ります。

処理時間がmsなら、標準偏差もmsとして考えられます。

標準偏差が小さいとは？

標準偏差が小さいほど、データは平均値の近くに集まっています。

たとえば、

• システムA: 平均100 ms、標準偏差2 ms
• システムB: 平均100 ms、標準偏差20 ms

なら、Aの方が毎回の処理時間が100 ms付近に集まりやすく、Bの方がばらつきが大きいと読めます。

平均値と標準偏差はセットで見る

平均値だけでは、中心しか分かりません。

標準偏差を合わせて見ると、

• 中心はどこか
• どれくらい散らばっているか

を同時に把握できます。

同じ平均値でも、標準偏差が違えばデータの特徴は異なります。

分散と標準偏差の違い

分散

偏差を2乗して平均した値です。

計算上扱いやすく、統計の多くの式で使われます。

標準偏差

分散の平方根です。

元のデータと同じ単位になるため、実際の値と比較しやすい特徴があります。

母分散と標本分散

統計では、目的によって分散の計算方法が異なることがあります。

このKnowledgeでは、まず与えられたデータ全体そのもののばらつきを求める基本として、偏差平方和をデータ数で割る方法を扱います。

一方、標本から母集団の分散を不偏に推定するときは、偏差平方和を n - 1 で割る不偏分散など、目的に応じて別の扱いがあります。

問題では、どの定義・目的で分散を求めているかを確認することが重要です。

歪度・尖度との関係

分布の形を見る指標として、歪度や尖度もあります。

• 歪度: 分布が左右どちらかへどの程度偏っているかを見る考え方
• 尖度: 分布の形の鋭さや裾の特徴を見る考え方

このKnowledgeでは位置付けを知るまでとし、詳細な式や計算は扱いません。

分散・標準偏差は主に広がりの大きさを表す指標として理解します。

どこで使う？

ITでは、平均だけでなく安定性も重要です。

例:

• API応答時間
• ネットワーク遅延
• CPU使用率
• バッチ処理時間
• 障害復旧時間

平均応答時間が同じでも、標準偏差が大きいシステムは、速いときと遅いときの差が大きい可能性があります。

よくある勘違い

標準偏差が大きいほど性能が良い？

違います。

標準偏差は性能の良し悪しそのものではなく、ばらつきの大きさを表します。

目的によって小さい方が望ましい場合もあれば、単純に優劣を決められない場合もあります。

分散と標準偏差は同じ単位？

違います。

分散は元の単位を2乗した単位、標準偏差は元と同じ単位です。

標準偏差が0ならどうなる？

すべてのデータが同じ値なら、平均との差がすべて0なので分散も標準偏差も0です。

平均値が同じなら分布も同じ？

違います。

平均値が同じでも、標準偏差が異なれば散らばり方が違います。

このKnowledgeで扱わないこと

ここでは、偏差・分散・標準偏差の基本計算と読み取りを扱います。

次は後続Knowledgeへ分けます。

• 相関係数
• 回帰分析
• 推定
• 仮説検定
• 分散の推定理論
• 高度な歪度 / 尖度の計算

ここまで分かればOK

• 偏差を求められる
• 偏差をそのまま平均できない理由を説明できる
• 分散を基本的なデータから計算できる
• 標準偏差が分散の平方根だと説明できる
• 同じ平均値のデータを標準偏差で比較できる
• 標準偏差が元のデータと同じ単位になることを理解できる